Question

3．2016年9月20日在烏魯木齊隆重開幕的第五屆中國-亞歐博覽會，其展覽規(guī)模為歷屆之最．按照日程安排，22日至25日為公眾開放日．某農(nóng)產(chǎn)品經(jīng)銷商決定在公眾開放日開始每天以50元購進農(nóng)產(chǎn)品若干件，以80元一件銷售；若供大于求，剩余農(nóng)產(chǎn)品當天以40元一件全部退回；若供不應求，則立即從其他地方以60元一件調(diào)劑．
（1）若農(nóng)產(chǎn)品經(jīng)銷商一天購進農(nóng)產(chǎn)品5件，求當天的利潤y（單位：元）關于當天需求量n（單位：件，n∈N^*）的函數(shù)解析式；
（2）農(nóng)產(chǎn)品經(jīng)銷商記錄了30天農(nóng)產(chǎn)品的日需求量n（單位：件）整理得表：

日需求量	3	4	5	6	7
頻數(shù)	2	3	15	6	4

若農(nóng)產(chǎn)品經(jīng)銷商一天購進5件農(nóng)產(chǎn)品，以30天記錄的各需求量發(fā)生的頻率作為概率，X表示當天的利潤（單位：元），求X的分布列與數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （1）當1≤n≤5時，y=30n+（5-n）×（-10），當n＞5時，y=30×5+（n-5）×20．化簡整理即可得出．
（2）由已知可得：日需求量為3，頻數(shù)為2天，利潤為70．日需求量為4，頻數(shù)為3天，利潤為110．日需求量為5，頻數(shù)為15天，利潤為150．日需求量為6，頻數(shù)為6天，利潤為170．日需求量為7，頻數(shù)為4天，利潤為190．
∴X的取值為70，110，150，170，190．即可得出分布列與數(shù)學期望．

解答 解：（1）當1≤n≤5時，y=30n+（5-n）×（-10）=40n-50．
當n＞5時，y=30×5+（n-5）×20=50+20n．
∴函數(shù)解析式為y=$\left\{\begin{array}{l}{40n-50，（1≤n≤5）}\\{20n+5，（n＞5）}\end{array}\right.$．
（2）由已知可得：日需求量為3，頻數(shù)為2天，利潤為70．
日需求量為4，頻數(shù)為3天，利潤為110．
日需求量為5，頻數(shù)為15天，利潤為150．
日需求量為6，頻數(shù)為6天，利潤為170．
日需求量為7，頻數(shù)為4天，利潤為190．
∴X的取值為70，110，150，170，190．P（X=70）=$\frac{1}{15}$，P（X=110）=$\frac{1}{10}$，P（X=150）=$\frac{1}{2}$，P（X=170）=$\frac{1}{5}$，P（X=190）=$\frac{2}{15}$．
可得X的分布列：

X	70	110	150	170	190
P	$\frac{1}{15}$	$\frac{1}{10}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{2}{15}$

∴EX=70×$\frac{1}{15}$+110×$\frac{1}{10}$+150×$\frac{1}{2}$+170×$\frac{1}{5}$+190×$\frac{2}{15}$=150．

點評 本題考查了分段函數(shù)、頻率與概率的關系、隨機變量的分布列與數(shù)學期望，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．