Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}|lo{g}_{3}x|，0＜x＜3\\ sin\frac{π}{3}x，3≤x≤9\end{array}\right.$，若存在實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足a＜b＜c＜d，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），則$\frac{（c-3）（d-3）}{ab}$的取值范圍是（18，$\frac{81}{4}$）．

Answer 1

分析 根據(jù)已知中函數(shù)的解析式，可得ab=1，c+d=15，c∈（6，$\frac{15}{2}$），結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得答案．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}|lo{g}_{3}x|，0＜x＜3\\ sin\frac{π}{3}x，3≤x≤9\end{array}\right.$的圖象如下圖所示，

∵實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足a＜b＜c＜d，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），
則log₃a+log₃b=0，且c，d關(guān)于直線x=$\frac{15}{2}$對(duì)稱，
∴ab=1，c+d=15，c∈（6，$\frac{15}{2}$），
則$\frac{（c-3）（d-3）}{ab}$=（c-3）（d-3）=（c-3）（15-c-3）=-c²+15-36=$-（c-\frac{15}{2}）^{2}+\frac{81}{4}$∈（18，$\frac{81}{4}$），
故答案為：（18，$\frac{81}{4}$）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是分段函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度中檔．