Question

如圖，四棱錐中，,,分別為的中點(diǎn).

(Ⅰ)求證：;

(Ⅱ)求證：.

 

Answer 1

【答案】

見(jiàn)解析

【解析】（I）取的中點(diǎn)，連接

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013081413211171557622/SYS201308141322065303343956_DA.files/image004.png">為的中點(diǎn)，所以，

又,

所以

因此四邊形是平行四邊形.

所以

又平面，平面，

因此平面.

另解：連結(jié).

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013081413211171557622/SYS201308141322065303343956_DA.files/image019.png">為的中點(diǎn)，所以

又所以

又，所以四邊形為平行四邊形，因此.

又平面，所以平面.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013081413211171557622/SYS201308141322065303343956_DA.files/image029.png">分別為的中點(diǎn)，所以

又平面，所以平面.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013081413211171557622/SYS201308141322065303343956_DA.files/image034.png">，所以平面平面.

（II）證明 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013081413211171557622/SYS201308141322065303343956_DA.files/image029.png">分別為的中點(diǎn)，

所以，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013081413211171557622/SYS201308141322065303343956_DA.files/image037.png">，所以

同理可證.

又,平面，平面，

因此平面.

又分別為的中點(diǎn)，所以.

又，所以

因此平面，

又平面，所以平面平面.

【考點(diǎn)定位】本題考查空間直線與平面，平面與平面間的位置關(guān)系，考查推理論證能力和空間想象能力.要證平面，可證明平面與所在的某個(gè)平面平行，不難發(fā)現(xiàn)平面平面.證明平面平面時(shí)，可選擇一個(gè)平面內(nèi)的一條直線（）與另一個(gè)平面垂直.線面關(guān)系與面面關(guān)系的判斷離不開判定定理和性質(zhì)定理，而形成結(jié)論的“證據(jù)鏈”依然是通過(guò)挖掘題目已知條件來(lái)實(shí)現(xiàn)的，如圖形固有的位置關(guān)系，中點(diǎn)形成的三角形的中位線等，都為論證提供了豐富的素材.