Question

（本小題滿分12分）
右圖是一個直三棱柱（以A₁B₁C₁為底面）被一平面所截得到
的幾何體，截面為ABC．已知A₁B₁＝B₁C₁＝l，∠A_lB_lC₁＝90°，
AA_l＝4，BB_l＝2，CC_l＝3．
（1）設(shè)點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，證明：OC∥平面A₁B₁C₁；
（2）求二面角B—AC—A₁的大小；
（3）求此幾何體的體積．

Answer 1

(1)OC∥平面A₁B₁C₁
(2) 二面角的大小為
(3)

（1）證明：作交于，連．
則．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150306110209.gif" style="vertical-align:middle;" />是的中點(diǎn)，
所以．
則是平行四邊形，因此有．
平面且平面，
則面．
（2）如圖，過作截面面，分別交，于，．
作于，連．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150306453275.gif" style="vertical-align:middle;" />面，所以，則平面．
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150306578321.gif" style="vertical-align:middle;" />，，．
所以，根據(jù)三垂線定理知，所以就是所求二面角的平面角．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150306734382.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以，故，
即：所求二面角的大小為．
（3）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150306734382.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以

所求幾何體體積為
．
解法二：
（1）如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150306110209.gif" style="vertical-align:middle;" />是的中點(diǎn)，所以，
．
易知，是平面的一個法向量．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150307030445.gif" style="vertical-align:middle;" />，平面，所以平面．
（2），，
設(shè)是平面的一個法向量，則
則得：
取，．
顯然，為平面的一個法向量．
則,
結(jié)合圖形可知所求二面角為銳角．
所以二面角的大小是．
（3）同解法一．