Question

設(shè)函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)，f（x+2）=-f（x），當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）=x²，則-4≤x≤4時(shí)，f（x）的圖象與x軸所圍成圖形的面積為（　�。�

• A、

  4

  3

• B、2
• C、

  8

  3

• D、4

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),定積分在求面積中的應(yīng)用

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)的奇偶性得到函數(shù)的周期是4，分別求出函數(shù)的解析式，利用積分的應(yīng)用即可得到結(jié)論．

解答： 解：由f（x+2）=-f（x）得f（x+4）=f（x），
即函數(shù)的周期是4，
若-1≤x≤0，則0≤-x≤1，
即f（-x）=x²，
∵f（x）是R上的奇函數(shù)，
∴f（-x）=x²=-f（x），
即f（-x）=-x²，-1≤x≤0，
∵函數(shù)的周期是4，
∴當(dāng)3＜x≤4時(shí)，-1＜x-4≤0，
即f（x）=f（x-4）=-（x-4）²，
當(dāng)1＜x≤2時(shí)，-1＜x-2≤0，
即f（x）=-f（x-2）=（x-2）²，
當(dāng)2＜x≤3時(shí)，0≤x-2≤1，
即f（x）=-f（x-2）=-（x-2）²，
綜上：f（x）=

x2 0≤x≤1 (x-2)2 1＜x≤2 -(x-2)2 2＜x≤3 -(x-4)2 3＜x≤4

，
則由積分的公式和性質(zhì)可知當(dāng)-4≤x≤4時(shí)，f（x）的圖象與x軸所圍成圖形的面積
S=2

∫

4 0

f(x)dx=4

∫

2 0

f(x)dx=8[

∫

1 0

x2dx]=8×

1

3

x3

|

1 0

=

8

3

．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用積分求面積，根據(jù)函數(shù)的奇偶性和周期性分別求出對(duì)應(yīng)的解析式是解決本題的關(guān)鍵．運(yùn)算量較大，有一定的難度．