Question

（2013•合肥二模）在數(shù){a_n}中，a₁=1，a₂=

10

3

，a_n+1-

10

3

a_n+a_n-1=0（n≥2，且n∈N^*）
（I）若數(shù)列{a_n+1+λa_n}是等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)λ；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）設(shè)S_n=

n

i=1

1

ai

求證：S_n＜

3

2

．

Answer 1

分析：（I）由數(shù)列{a_n+1+λa_n}是等比數(shù)列，可設(shè)a_n+1+λa_n=μ（a_n+λa_n-1），根據(jù)條件即可得到結(jié)論；
（II）n≥2時(shí)，a_n-

1

3

a_n-1=3^n-1①，a_n-3a_n-1=

1

3n-1

②，從而可求數(shù)列的通項(xiàng)；
（III）證明

1

an

＜

1

3

•

1

an-1

（n≥2），利用放縮法，可得結(jié)論．

解答：（I）解：由數(shù)列{a_n+1+λa_n}是等比數(shù)列，可設(shè)a_n+1+λa_n=μ（a_n+λa_n-1）（n≥2）
∴a_n+1+（λ-μ）a_n-λμa_n-1=0，
∵a_n+1-

10

3

a_n+a_n-1=0，
∴

λ-μ=- 10 3 λμ=-1

，
∴λ=-

1

3

或λ=-3；
（II）解：由上知，n≥2時(shí)，a_n-

1

3

a_n-1=3^n-1①
∴a_n-3a_n-1=

1

3n-1

②
由①②可得an=

3

8

(3n-

1

3n

)；
（III）證明：由（II）知，an=

3

8

(3n-

1

3n

)＞0，
∵a_n-3a_n-1=

1

3n-1

，∴a_n＞3a_n-1
∴

1

an

＜

1

3

•

1

an-1

（n≥2）
∴S_n＜

1

a1

+

1

3

(

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an-1

)=

1

a1

+

1

3

(

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an-1

+

1

an

)-

1

3an

＜

1

a1

+

1

3

Sn
∴S_n＜

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查等比數(shù)列的運(yùn)用，考查數(shù)列與不等式的聯(lián)系，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．