Question

6．若函數(shù)f（x）=klnx-x只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（-∞，0]∪{e}．

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）=klnx-x有且只有一個(gè)零點(diǎn)可轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=klnx與y=x的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)；作函數(shù)圖象可知，分相切與不相切討論即可．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=klnx-x有且只有一個(gè)零點(diǎn)，
∴函數(shù)y=klnx與y=x的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)k＞0時(shí)，作函數(shù)y=klnx與y=x的圖象如下，
函數(shù)y=klnx的導(dǎo)函數(shù)為：y′=$\frac{k}{x}$，
方程只有一個(gè)解，可得：$\frac{k}{{x}_{0}}=1$，并且x₀=klnx₀，解得k=e，
當(dāng)k≤0時(shí)成立，函數(shù)f（x）=klnx-x只有一個(gè)零點(diǎn)，恒成立．
綜上所述，實(shí)數(shù)k的取值范圍為（-∞，0]∪{e}．
故答案為：（-∞，0]∪{e}．

點(diǎn)評 本題考查了學(xué)生作圖與用圖的能力，同時(shí)考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，屬于中檔題．