Question

已知函數(shù)f（x）=x³-6x²+9x．
（1）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間和極值；
（2）若a≤2，當x∈[a，a+1]時，求f（x）的最大值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：計算題,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）由題意求導f′（x）=3x²-12x+9=3（x-1）（x-3），從而確定函數(shù)的單調區(qū)間與極值；
（2）討論a的取值以確定函數(shù)在區(qū)間[a，a+1]上的單調性，從而求f（x）的最大值．

解答： 解：（1）f′（x）=3x²-12x+9=3（x-1）（x-3），
故當x＜1或x＞3時，f′（x）＞0；
當1＜x＜3時，f′（x）＜0；
故f（x）的單調增區(qū)間為（-∞，1），（3，+∞）；
單調減區(qū)間為（1，3）；
當x=1時，f（x）取得極大值f（1）=4；
當x=3時，f（x）取得極大值f（3）=0；
（2）當a+1＜1，即a＜0時，f（x）在[a，a+1]上單調遞增，
所以f_max（x）=f（a+1）=a³-3a²+4；
當a＜1≤a+1，即0≤a＜1時，f（x）在[a，a+1]上先增后減，
所以f_max（x）=f（1）=4；
當1≤a≤2時，f（x）在[a，a+1]上單調遞減，
所以f_max（x）=f（a）=a³-6a²+9a；
綜上所述，f_max（x）=

a3-3a2+4，a＜0 4，0≤a＜1 a3-6a2+9a，1≤a≤2

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點評：本題考查了導數(shù)的綜合應用及分類討論的思想應用，屬于中檔題．