Question

設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)

(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間與極值；

(Ⅱ)求證：當(dāng)且時(shí)，

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是,極小值為;(Ⅱ) 見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：(Ⅰ)直接根據(jù)導(dǎo)數(shù)和零的大小關(guān)系求得單調(diào)區(qū)間，并由單調(diào)性求得極值；(Ⅱ)先由導(dǎo)數(shù)判斷出在R內(nèi)單調(diào)遞增，說(shuō)明對(duì)任意，都有，而，從而得證.

試題解析：（１）解：由知，．

令，得.于是，當(dāng)變化時(shí)，和的變化情況如下表：

		0	+
	單調(diào)遞減		單調(diào)遞增

故的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是．在處取得極小值，極小值為．                 

（２）證明：設(shè)，于是．

由（1）知，對(duì)任意,都有，所以在R內(nèi)單調(diào)遞增．

于是，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，都有，而 ，

從而對(duì)任意，都有，即故

考點(diǎn)：1.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；2. 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值3.利用函數(shù)的最值證明不等式.