Question

10．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=$\frac{2（n+1）{a}_{n}}{n}$+n+1．
（I）求證：數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n}$+1}是等比教列．
（II）求數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n．

Answer 1

分析 （I）a_n+1=$\frac{2（n+1）{a}_{n}}{n}$+n+1，可得$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$+1=2$（\frac{{a}_{n}}{n}+1）$，即可證明．數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n}$+1}是等比教列，公比為2，首項為2．
（II）由（I）可得：$\frac{{a}_{n}}{n}$+1=2ⁿ，可得a_n=n•2ⁿ-n．利用錯位相減法、等比數(shù)列的求和公式及其等差數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 （I）證明：∵a_n+1=$\frac{2（n+1）{a}_{n}}{n}$+n+1，∴$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$=$2×\frac{{a}_{n}}{n}$+1，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$+1=2$（\frac{{a}_{n}}{n}+1）$，
∴數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n}$+1}是等比教列，公比為2，首項為2．
（II）解：由（I）可得：$\frac{{a}_{n}}{n}$+1=2ⁿ，可得a_n=n•2ⁿ-n．
設(shè)數(shù)列{n•2ⁿ}的前n項和為T_n．
則T_n=2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
2T_n=2²+2×2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
相減可得：-T_n=2+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n•2ⁿ⁺¹，
可得：T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．
∴S_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2-$\frac{n（n+1）}{2}$．

點評 本題考查了錯位相減法、等比數(shù)列與等差數(shù)列的通項公式及其求和公式、數(shù)列遞推關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．