Question

設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=x|x²﹣a|．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣1，1]上的最大值和最小值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x|x²﹣1|．
∵x∈[﹣1，1]，
∴f（x）=﹣x3+x，則f′（x）=﹣3x²+1=﹣3（x﹣）（x+），
令f′（x）=0，得x=，x=-，
∵[﹣1，1]，
f（﹣1）=1﹣1=0，
f（﹣）=﹣（﹣）³﹣=，
f（）=，
f（1）=﹣1+1=0，
∴函數(shù)f（x）在x∈[﹣1，1]上的最小值為，最大值為．
（2）（i）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=x³，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（﹣∞，+∞）．
（ii）當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）=x²﹣ax，
∵f′（x）=3x²﹣a＞0恒成立，
∴f（x）在（﹣∞，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f（x）的增區(qū)間為（﹣∞，+∞）．
（iii）當(dāng)a＞0時(shí)，①當(dāng)或時(shí)，f（x）=x³﹣ax，
因?yàn)閒′（x）=3x²﹣a=3（x+）（x﹣），﹣，，
所以，當(dāng)或時(shí)，f′（x）＞0，
從而f（x）的單調(diào)減區(qū)間為及．
②當(dāng)﹣ 時(shí)，f（x）=﹣x³+ax， f′（x）=﹣3x²+a=﹣3 ，
令f′（x）=0，得 ，x=﹣ ，列表，得  

綜上所述，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（﹣∞，+∞）；
當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為 及 ， f（x）的單調(diào)減區(qū)間為 ．