Question

14．已知函數(shù)f（x）=lnx+ax
（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性
（Ⅱ）若x＞0時(shí)，f（x）＜（a+2）x²都成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即可討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）令h（x）=f（x）-（a+2）x²=lnx+ax-（a+2）x²，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)h（x）的最大值為h（$\frac{1}{2}$），只要有$h（\frac{1}{2}）＜0$即可求得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），
函數(shù)的f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）=$\frac{1}{x}$+a，
當(dāng)a≥0時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)a＜0時(shí)，f′（x）=$\frac{1}{x}$+a=$\frac{ax+1}{x}$，
由f′（x）＞0，解得0＜x＜-$\frac{1}{a}$，
由f′（x）＜0，解得x＞$-\frac{1}{a}$，
∴函數(shù)f（x）在（0，$-\frac{1}{a}$）上增函數(shù)，則（$-\frac{1}{a}$，+∞）是減函數(shù)．
（Ⅱ）令h（x）=f（x）-（a+2）x²=lnx+ax-（a+2）x²，
∴h′（x）=$\frac{1}{x}$+a-2（a+2）x=$\frac{[（a+2）x+1]（-2x+1）}{x}$，
∴①當(dāng)a+2≥0，即a≥-2時(shí)，

x	（0，$\frac{1}{2}$）	$\frac{1}{2}$	（$\frac{1}{2}$，+∞）
h′（x）	+	0	-
h（x）	↗	極大值	↘

h（$\frac{1}{2}$）=ln（$\frac{1}{2}$）+$\frac{1}{2}$a-$\frac{1}{4}（a+2）$＜0，解得a＜2+4ln2
∴-2≤a＜2+4ln2；
②當(dāng)a+2＜0即a＜-2時(shí)，h（x）在（0，+∞）上無最大值，故不可能恒小于0，故a＜-2不成立．
綜上所述a的取值范圍為[-2，2+4ln2）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，綜合考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬于難題．