Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=2BC，P、Q分別是線段AB，CD中點，EP⊥平面ABCD．
（1）求證：DP⊥平面EPC；
（2）問在EP上是否存在點F，使平面AFD⊥平面BFC？若存在，求出

FP

AP

的值；若不存在請說明理由．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,直線與平面垂直的性質

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）由已知得∠APD=∠BPC=45°，∠DPC=90°，從而DP⊥PC，由EP⊥平面ABCD，得EP⊥DP，由此能證明DP⊥平面EPC．
（2）假設存在F，使平面AFD⊥平面BFC，由已知得AD∥平面BFC，從而AD平行于平面AFD與平面BFC的交線l，由已知得EP⊥AD，而AD⊥AB，從而l⊥平面FAB，∠AFB為平面AFD與平面BFC所成二面角的平面角，由此能求出當

FP

AP

=1時，平面AFD⊥平面BFC．

解答： 解：（1）證明：∵在矩形ABCD中，AB=2BC，
P、Q分別是線段AB，CD中點，
∴∠APD=∠BPC=45°，∴∠DPC=90°，∴DP⊥PC，
∵EP⊥平面ABCD，DP?平面ABCD，
∴EP⊥DP，
又PC∩EP=P，∴DP⊥平面EPC．
（2）解：假設存在F，使平面AFD⊥平面BFC，
∵AD∥BC，BC?平面BFC，AD不包含于平面BFC，
∴AD∥平面BFC，
∴AD平行于平面AFD與平面BFC的交線l，
∵EP⊥平面ABCD，
∴EP⊥AD，而AD⊥AB，
AB∩EP=P，∴AD⊥平面EAB，∴l(xiāng)⊥平面FAB，
∴∠AFB為平面AFD與平面BFC所成二面角的平面角，
∵P是AB的中點，且FP⊥AB，
∴當∠AFB=90°時，FP=AP，
∴當

FP

AP

=1時，平面AFD⊥平面BFC．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查使平面與平面垂直的點是否存在的判斷與求法，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．