Question

設(shè)定點M（3，）與拋物線y²=2x上的點P的距離為d₁，P到拋物線準(zhǔn)線l的距離為d₂，則d₁+d₂取最小值時，P點的坐標(biāo)為（ ）
A．（0，0）
B．（1，）
C．（2，2）
D．（）

Answer 1

【答案】分析：先判斷出M（3，）在拋物線y²=2x的外部然后做出圖形（如下圖）則PM=d₁過p作PN⊥直線x=則PN=d₂，根據(jù)拋物線的定義可得d₁+d₂=PM+PF故要使d₁+d₂取最小值則只有當(dāng)P，M，F(xiàn)三點共線時成立因此可求出MF所在的直線方程然后與拋物線的方程聯(lián)立即可求出P點的坐標(biāo)．
解答：解：∵（3，）在拋物線y²=2x上且
∴M（3，）在拋物線y²=2x的外部
∵拋物線y²=2x的焦點F（，0），準(zhǔn)線方程為x=-
∴在拋物線y²=2x上任取點P過p作PN⊥直線x=則PN=d_2，
∴根據(jù)拋物線的定義可得d₂=PF
∴d₁+d₂=PM+PF
∵PM+PF≥MF
∴當(dāng)P，M，F(xiàn)三點共線時d₁+d₂取最小值
此時MF所在的直線方程為y-=（x-3）即4x-3y-2=0
令則即當(dāng)點的坐標(biāo)為（2，2）時d₁+d₂取最小值
故選C
點評：本題主要考察拋物線的性質(zhì)，屬常考題，較難．解題的關(guān)鍵是將d₁+d₂=PM+PN根據(jù)拋物線的定義轉(zhuǎn)化為d₁+d₂=PM+PF！