Question

如圖，已知正三棱柱ABC—A₁B₁C₁的側(cè)棱與底面邊長皆為2，D是BC的中點(diǎn)，

(1)求證：A₁B∥平面C₁AD；

(2)求直線A₁B與平面C₁AD間的距離；

(3)求二面角C-AC₁-D的大小.

Answer 1

解法一:(1)證明:連結(jié)A₁C交AC₁于點(diǎn)E，連結(jié)ED.在△A₁BC中，E、D分別為A₁C、CB的中點(diǎn)，有ED∥A₁B.

又ED平面C₁AD，A₁B平面C₁AD，

∴A₁B∥平面C₁AD.                                                  

(2)易證AD⊥平面B₁BCC₁.又AD平面C₁AD，則平面C₁AD⊥平面B₁BCC₁,且C₁D為這兩個(gè)互相垂直平面的交線.

由于A₁B∥平面C₁AD，則直線A₁B與平面C₁AD的距離等于點(diǎn)B到平面C₁AD的距離，等于點(diǎn)B到直線C₁D的距離.

作BM⊥C₁D交C₁D的延長線于M，可求得BM=.                   

(3)由于平面B₁BCC₁⊥平面C₁AD，過C作CF⊥C₁D于F，交C₁D于F,則CF⊥平面C₁AD，連結(jié)EF，則∠CEF為所求.可求得CE=，CF=,在Rt△CEF中，sin∠CEF==，

∴二面角CAC₁D的平面角為arcsin.                                 1

解法二:如圖建立空間直角坐標(biāo)系，可求出如下各點(diǎn)的坐標(biāo)：

A(0，0，0)，A₁(0，0，2)，B(1，，0)，B₁(1，，2)，C(-1，，0)，C₁(-1，，2)，D(0，，0).                                                   

(1)證明:連結(jié)A₁C交AC₁于E，連結(jié)ED.

則E(-,,1)，=(1，，-2)，=(,,-1)，有=2，則∥.

又A₁B與B₁D不共線，則A₁B∥ED.                                      

(2)同解法一.

(3)易證⊥，=(-,,-1)，作DF⊥AC₁于F，設(shè)F(x,y,z),

則=(-x,-y,-z)，又=(1，-，-2)，=(-x,-y,-z)，

由與共線,得x=-λ,y=λ,z=2λ，

則=(λ, -λ,-2λ).

由⊥,得λ-3+3λ+4λ=0.

解之,得λ=.∴=(,,-).

則cos〈,〉=.

∴二面角的平面角為arccos.