Question

【題目】設(shè)數(shù)列滿足，，，.s

（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)；

（2）求數(shù)列的通項(xiàng)，并求數(shù)列的前項(xiàng)和；

（3）若，且是單調(diào)遞增數(shù)列，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析，；（2），；

（3）.

【解析】

（1）利用等差數(shù)列的定義可證明出數(shù)列是等差數(shù)列，并確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公差，即可得出數(shù)列的通項(xiàng)；

（2）利用累加法求出數(shù)列的通項(xiàng)，然后利用裂項(xiàng)法求出數(shù)列的前項(xiàng)和；

（3）求出，然后分為正奇數(shù)和正偶數(shù)兩種情況分類(lèi)討論，結(jié)合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.

（1），等式兩邊同時(shí)減去得，

，且，

所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，

因此，；

（2），

，，

；

（3）.

當(dāng)為正奇數(shù)時(shí)，，，

由，得，可得，

由于數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，；

當(dāng)為正偶數(shù)時(shí)，，，

由，得，可得，

由于數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，.

因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.