Question

17．已知A、B、C三點坐標分別為（0，-2），（0，0），（3，1），點M滿足$\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MC}$，點N滿足$\overrightarrow{AN}$=-3$\overrightarrow{NB}$，點P滿足PM⊥PN，則P點的軌跡方程是x²+y²-2x-y=0．

Answer 1

分析 利用點M滿足$\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MC}$，點N滿足$\overrightarrow{AN}$=-3$\overrightarrow{NB}$，求出M，N的坐標，利用點P滿足PM⊥PN，求出P點的軌跡方程．

解答 解：由題意，設M（a，b），N（m，n），則
∵A、B、C三點坐標分別為（0，-2），（0，0），（3，1），點M滿足$\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MC}$，點N滿足$\overrightarrow{AN}$=-3$\overrightarrow{NB}$，
∴（a，b+2）=2（3-a，1-b），（m，n+2）=-3（-m，-n），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=6-2a}\\{b+2=2-2b}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{m=3m}\\{n+2=3n}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{m=0}\\{n=1}\end{array}\right.$，
∴M（2，0），N（0，1），
設P（x，y），則
∵PM⊥PN，
∴（2-x，-y）•（-x，1-y）=0，
∴-x（2-x）-y（1-y）=0，
∴x²+y²-2x-y=0．
故答案為：x²+y²-2x-y=0．

點評 本題考查點P滿足PM⊥PN，求P點的軌跡方程，確定M，N的坐標是關鍵．