Question

已知a、b是兩個(gè)非零向量，同時(shí)滿足|a|=|b|=|a-b|,求a與a+b的夾角.

Answer 1

思路分析：根據(jù)向量夾角公式得：cosθ=,須根據(jù)已知條件找到a·b與a的關(guān)系.|a+b|與|a|的關(guān)系即可解決.

解法1：

根據(jù)|a|=|b|,有|a|²=|b|².

又由|b|=|a-b|,得|b|²=|a|²-2a·b+|b|²,

∴a·b=|a|².

而|a+b|²=|a|²+2a·b+|b|²=3|a|²,

∴|a+b|=|a|.

設(shè)a與a+b的夾角為θ，則

cosθ=.

∴θ=30°

解法2：

設(shè)向量a=(x₁,y₁),b=(x₂,y₂).

∵|a|=|b|,∴x₁²+y₁²=x₂²+y₂².

由|b|=|a-b|,得x₁x₂+y₁y₂=(x₁²+y₁²).

即a·b=(x₁²+y₁²).

由|a+b|²=2(x₁²+y₁²)+2×(x₁²+y₁²)=3(x₁²+y₁²),得|a+b|=.

設(shè)a與a+b的夾角為θ,則cosθ=.

∴θ=30°.

解法3：根據(jù)向量加法的幾何意義，作圖如下圖

在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作=a，=b，以、為鄰邊作平行四邊形OACB.

∵|a|=|b|,即||=||，

∴平行四邊形OACB為菱形，OC平分∠AOB.

這時(shí)=a+b，=a-b.

而|a|=|b|=|a-b|,

即||=||=||.

∴△AOB為正三角形，則∠AOB=60°.

于是∠AOC=30°,即a與a+b的夾角為30°.

溫馨提示

    基于平面向量的表示上的差異,也就是表示方法的不同，才產(chǎn)生了以上三種不同解法.對(duì)于本題的三種解法都要認(rèn)真理解.