Question

（20）已知函數(shù)數(shù)列{}（）的第一項(xiàng)以后各項(xiàng)按如下方              式取定：曲線處的切線與經(jīng)過（0，0）和（兩點(diǎn)的直線平行（如圖），求證：當(dāng)nN⁺時(shí)，

（Ⅰ）；

（Ⅱ）。

   

Answer 1

本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，以及不等式的證明，同時(shí)考查邏輯推理能力。

證明：（Ⅰ）因?yàn)?IMG align="absmiddle" height=24 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1898/img/06/71/91/189806719110016391/1.gif" width=113 align=absMiddle v:shapes="_x0000_i1163">

所以曲線y=f(x)在處的切線斜率，因?yàn)檫^（0，0）和

所以

（Ⅱ）因?yàn)楹瘮?shù)當(dāng)x＞0時(shí)單調(diào)遞增，

      而

               

               

       所以

        因此

            又因?yàn)?IMG align="absmiddle" height=27 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1898/img/06/71/91/189806719110016391/12.gif" width=164 align=absMiddle v:shapes="_x0000_i1174">

        令

        則

            因?yàn)?IMG align="absmiddle" height=25 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1898/img/06/71/91/189806719110016391/15.gif" width=111 align=absMiddle v:shapes="_x0000_i1177">

        所以

            因此

            故