Question

【題目】某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，從流水線上隨機抽取100件產(chǎn)品，統(tǒng)計其質量指數(shù)并繪制頻率分布直方圖（如圖1）：

產(chǎn)品的質量指數(shù)在的為三等品，在的為二等品，在的為一等品，該產(chǎn)品的三、二、一等品的銷售利潤分別為每件1.5，3.5,5.5（單位：元），以這100件產(chǎn)品的質量指數(shù)位于各區(qū)間的頻率代替產(chǎn)品的質量指數(shù)位于該區(qū)間的概率.

（1）求每件產(chǎn)品的平均銷售利潤；

（2）該公司為了解年營銷費用（單位：萬元）對年銷售量（單位：萬件）的影響，對近5年的年營銷費用和年銷售量 數(shù)據(jù)做了初步處理，得到的散點圖（如圖2）及一些統(tǒng)計量的值.

16.30	24.87	0.41	1.64

表中，，，

根據(jù)散點圖判斷，可以作為年銷售量（萬件）關于年營銷費用（萬元）的回歸方程.

（�。┙�立關于的回歸方程；

（ⅱ）用所求的回歸方程估計該公司應投入多少營銷費，才能使得該產(chǎn)品一年的收益達到最大？（收益=銷售利潤-營銷費用，取）

參考公式：對于一組數(shù)據(jù)：，，，，其回歸直線的斜率和截距的最小乘估計分別為，

Answer 1

【答案】(1) 平均銷售利潤為4元.

(2) （�。�（ⅱ）投入256萬元營銷費，能使得該產(chǎn)品一年的收益達到最大768萬元

【解析】

(1) 設每件產(chǎn)品的銷售利潤為元，則的所有可能取值為1.5,3.5,5.5,求出相應的概率值，得到分布列與期望值；

(2) （�。┯�得，，令，，，則，利用表中數(shù)據(jù)求出即可；（ⅱ）設年收益為萬元，則，利用導函數(shù)即可得到結果.

（1）設每件產(chǎn)品的銷售利潤為元，則的所有可能取值為1.5,3.5,5.5

由直方圖可得：一、二、三等品的頻率分別為0.4,0.45,0.15，

所以，

，

,

所以：隨機變量的分布列為：

	1.5	3.5	5.5
P	0.15	0.45	0.4

所以，

故每件產(chǎn)品的平均銷售利潤為4元.

（2）（ⅰ）由得，，

令，，，則，

由表中數(shù)據(jù)可得，，

則

所以，，即

因為，所以

故所求的回歸方程為

（ⅱ）設年收益為萬元，則

設，，則

當時，，在單調遞增，

當時，，在單調遞減.

所以，當，即時，有最大值為768

即該廠應投入256萬元營銷費，能使得該產(chǎn)品一年的收益達到最大768萬元.