Question

已知直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，△ABC為等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA₁，D、E、F分別為B₁A、C₁C、BC的中點(diǎn).

（1）求證：DE∥平面ABC；

（2）求證：B₁F⊥平面AEF；

（3）求二面角B₁-AE-F的大小.?

Answer 1

解法一：（1）證明：取AB的中點(diǎn)M，?

∵D為B₁A的中點(diǎn)，?

∴DMBB₁.                                                                                                      ?

又由E是CC₁的中點(diǎn)，易得ECBB₁，∴DMEC.                                                ?

∴四邊形DMCE是平行四邊形.∴DE∥MC.                                                                    ?

又DE平面ABC，MC平面ABC，?

∴DE∥平面ABC.                                                                                                   ?

（2）證明：由已知，△ABC為等腰直角三角形，∠BAC=90°，F為BC的中點(diǎn)，

∴AF⊥BC.有AF⊥平面BB₁C₁C.                                                                                    ?

又B₁F平面BB₁C₁C，∴B₁F⊥AF.                                                                       ?

在RT△B₁BF和RT△FCE中，由已知可得BC=BB₁，CC₁=BB₁，?

∴==，===.?

∴RT△B₁BF∽R(shí)T△FCE.?

∴∠BB₁F=∠EFC.而∠BB₁F+∠B₁FB=90°，?

∴∠B₁FB+∠EFC=90°.?

∴∠B₁FE=90°，即B₁F⊥EF.                                                                                  ?

又AF∩EF=F，∴B₁F⊥平面AEF.                                                                                 ?

（3）解：過(guò)F作FN⊥AE于點(diǎn)N，連結(jié)B₁N，設(shè)AB=A，                                              ?

∵B₁F⊥平面AEF，∴B₁N⊥AE.?

∴∠B₁NF為二面角B₁-AE-F的平面角.                                                                   ?

∵AF⊥平面BB₁C₁C，EF平面BB₁C₁C，?

∴EF⊥AF.∴在RT△AEF中，可求得FN=A.

在RT△B₁FN中，∠B₁FN=90°，?

∴tan∠B₁NF==.                                                                                        ?

∴∠B₁NF=arctan，即二面角B₁-AE-F的大小為arctan.                                ?

解法二：以A為原點(diǎn)，以射線AB、AC、AA₁分別為x、y、z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=AA₁=AC=2A＞0，可知各點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（0，0，0），B（2A，0，0），C（0，2A，0），B₁（2A,0,2A），E（0,2A,A），F（A,A,0），D（A,0,A）.                                           ?

（1）證明：=(-A,2A,0),又因?yàn)?-A,2A,0)=A(-1,2,0),即=A(-1,2,0)，?

∴與向量（-1，2，0）平行.?

設(shè)點(diǎn)G（-1，2，0），則=（-1，2，0）.                                                            ?

∴與平行，而直線AG在平面ABC內(nèi)，直線DE在平面ABC外，

∴DE∥平面ABC.                                                                                                   ?

（2）證明：=(-A,A,-2A),=(A,-A,-A),

=(A,A,0),∴·=-A×A+A×(-A)+(-2A)×(-A)=0,·=-A×A+A×A-2A×0=0.        ?

∴⊥，⊥.?

又AF∩EF=F，∴B₁F⊥平面AEF.                                                                                 ?

（3）解：由（2）知=(-A,A,-2A)是平面AEF的一個(gè)法向量，設(shè)二面角B₁-AE-F的大小為θ，根據(jù)已知得θ是銳角，設(shè)平面AEB₁的一個(gè)法向量為n=(x,y,1).               ?

∵=(0,2A,A),=(2A,0,2A),且                                            ?

∴解之，得

∴n=(-1,-,1).                                                                                                       ?

∴cosθ==.∴θ=arccos.?

∴二面角B₁-AE-F的大小為arccos.