Question

已知函數(shù)f（x）=x²-alnx（a∈R）．
（1）當(dāng)a=-1時(shí)，求函數(shù)f（x）在點(diǎn)x=1處的切線方程及f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）的極值．

Answer 1

（1）當(dāng)a=-1時(shí)，f(x)=x2+lnx，f′(x)=2x+

1

x

，（1分）
∴f'（1）=3．
函數(shù)f（x）在點(diǎn)x=1處的切線方程為y-1=3（x-1），即y=3x-2（3分）
當(dāng)x＞0時(shí)，f′(x)=2x+

1

x

＞0，∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
而f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），則函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞），不存在遞減區(qū)間．（5分）
（2）函數(shù)f（x）=x²-alnx（a∈R）的定義域?yàn)椋?，+∞），f′(x)=2x-

a

x

，（6分）
①當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；函數(shù)f（x）無極值（8分）
②當(dāng)a＞0時(shí)，由f'（x）＞0，得x＞

2a

2

，（9分）
由f'（x）＜0，得0＜x＜

2a

2

，（10分）
∴當(dāng)x=

2a

2

時(shí)，f（x）有極小值f(

2a

2

)=

1

2

a(1-lna+ln2)（11分）
綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）無極值；當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）有極小值

1

2

a(1-lna+ln2)，無極大值（12分）