Question

19．設(shè)點M為△ABC的三條中線的交點，O為△ABC所在平面內(nèi)任意一點，證明：$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=3$\overrightarrow{OM}$．

Answer 1

分析 根據(jù)向量加法的幾何意義、向量加法的平行四邊形法則，以及三角形重心的性質(zhì)便有$\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，將$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}$帶入上式便可得出$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{3}（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}）$，從而證出$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OM}$．

解答 證明：如圖，根據(jù)向量加法的平行四邊形法則及重心的性質(zhì)，則：

$\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$=$\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}[（\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}）+（\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}）]$=$\frac{1}{3}（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}）$；
∴$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OM}$．

點評 考查向量加法、減法的幾何意義，向量加法的平行四邊形法則，以及向量的數(shù)乘運算，重心的概念及其性質(zhì)．