Question

【題目】如圖，四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的菱形，，，為中點(diǎn)．

（1）求證：平面平面；

（2）若，，的交點(diǎn)記為，求證平面；

（3）在（2）的條件下求三棱錐的體積．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，由線面垂直的判定定理可得面，根據(jù)面面垂直的判定定理可得結(jié)果；（2）由，為中點(diǎn)，可得，由（1）知，利用線面垂直的判定定理可得結(jié)論；（3）先證明面，則，利用棱錐的體積公式可得結(jié)果.

試題解析：（1）設(shè)，連結(jié)，

∴，為中點(diǎn)，

∴，

又∵底面為菱形，

∴，

∵，

∴面，

又∵面，

∴面面．

（2）∵，為中點(diǎn)，

∴，

又∵，，

∴面．

（3）過(guò)作于，

∴，

又∵面，

面，

∴

．

【方法點(diǎn)晴】本題主要考線面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理以及利用等積變換求棱錐體積，屬于難題.解答空間幾何體中垂直關(guān)系時(shí)，一般要根據(jù)已知條件把空間中的線線、線面、面面之間垂直關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化時(shí)要正確運(yùn)用有關(guān)的定理，找出足夠的條件進(jìn)行推理；證明直線和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推論；（3）利用面面平行的性質(zhì)；（4）利用面面垂直的性質(zhì)，當(dāng)兩個(gè)平面垂直時(shí)，在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面.