Question

20．設(shè){a_n}是等差數(shù)列，{b_n}是各項(xiàng)都為正整數(shù)的等比數(shù)列，且a₁=b₁=1，a₁₃b₂=50，a₈+b₂=a₃+a₄+5，n∈N^*．
（Ⅰ）求{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)c_n=（-1）^n-1•λ•b_n+2${\;}^{{a}_{n}}$（λ為非零實(shí)數(shù)，n為正整數(shù)），試確定實(shí)數(shù)λ的取值范圍，使得對任意的正整數(shù)n，都有c_n+1＞c_n恒成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè){a_n}的公差為d，{b_n}的公比為q，則依題意有q＞0，利用a₁₃b₂=50，a₈+b₂=a₃+a₄+5，列出方程組，求解公差與公比，然后求解通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）由c_n+1＞c_n恒成立，討論n的奇偶將λ進(jìn)行分離，利用恒成立的方法求出λ的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）設(shè){a_n}的公差為d，{b_n}的公比為q，則依題意有q＞0，
且$\left\{\begin{array}{l}{（1+12d）q=50}\\{（1+7d）+q=（1+2d）+（1+3d）+5}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{（1+12d）q=50}\\{2d+q=6}\end{array}\right.$，解得：d=q=2，或$\left\{\begin{array}{l}{d=\frac{11}{12}}\\{q=\frac{25}{6}}\end{array}\right.$，
由于{b_n}是各項(xiàng)都為正整數(shù)的等比數(shù)列，所以d=q=2；
從而a_n=1+（n-1）d=2n-1，b_n=q^n-1=2^n-1；   
（Ⅱ）c_n=2^2n-1+（-1）^n-1•λ•2^n-1，由c_n+1＞c_n恒成立，
即：2²ⁿ⁺¹+（-1）ⁿ•λ•2ⁿ＞2^2n-1+（-1）^n-1•λ•2^n-1，
即有2ⁿ＞（-1）^n-1•λ恒成立．
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，2ⁿ＞λ，由2ⁿ遞增，可得n=1時(shí)，取得最小值2，
即有λ＜2；
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，2ⁿ＞-λ，由2ⁿ遞增，可得n=2時(shí)，取得最小值4，
即有-λ＜4，解得λ＞-4；
故實(shí)數(shù)λ的取值范圍是（-4，2）．

點(diǎn)評 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的單調(diào)性問題的解法，注意運(yùn)用分類討論的思想方法，屬于中檔題．