Question

【題目】已知橢圓：（）的離心率為，橢圓與軸交于兩點(diǎn)，且．

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)在軸的右側(cè)，直線與直線交于兩點(diǎn)，若以為直徑的圓與軸交于，求點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍及的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（2）點(diǎn)橫坐標(biāo)，的最大值2．

【解析】

試題分析：（1）先根據(jù)橢圓性質(zhì)確定兩個(gè)獨(dú)立條件：，，解方程組得（2）根據(jù)題意用點(diǎn)橫坐標(biāo)表示兩點(diǎn)坐標(biāo)：設(shè)，則可求得，，因而可得以為直徑的圓，進(jìn)而得到與軸弦長，此時(shí)需要利用進(jìn)行化簡得，因此可得點(diǎn)橫坐標(biāo)，的最大值2．

試題解析：（1）由題意可得，，，

得， 解得， 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）設(shè)，，，

所以，直線的方程為，同理得直線的方程為

， 直線與直線的交點(diǎn)為，

直線與直線的交點(diǎn)為，

線段的中點(diǎn)，

所以圓的方程為，令，

則， 因?yàn)?/span>，所以 ，

所以，

因?yàn)檫@個(gè)圓與軸相交,該方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，

所以，解得．

設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)，則（），

所以該圓被軸截得的弦長為最大值為2．