Question

已知集合A=｛x|ax²-3x+2=0，x∈R｝，若集合A中元素至多有一個(gè)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

思路解析：集合A為數(shù)集，其元素x表示方程的解，求集合中元素個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為求方程解的個(gè)數(shù)問(wèn)題.

解法一：（1）a=0時(shí)，方程為-3x+2=0，解得x=，符合題意.

（2）a≠0時(shí)，方程ax²-3x+2=0為一元二次方程.

集合A中至多有一個(gè)元素即表明一元二次方程無(wú)根或有兩個(gè)相等的實(shí)根，即Δ=9-8a≤0，解得a≥.

綜合（1）（2）可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是｛a|a=0,或a≥｝.

解法二：方程ax²-3x+2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根需滿足條件：解得a＜,且a≠0.

取其補(bǔ)集，則使方程ax²-3x+2=0無(wú)實(shí)根或只有一個(gè)實(shí)根或有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，因此，所求a的范圍是｛a|a=0,或a≥｝.

深化升華

解法一運(yùn)用了分類討論思想，考查了含字母的的系數(shù)的方程、集合中元素的互異性及對(duì)空集涵義的理解.

解法二運(yùn)用補(bǔ)集思想，體現(xiàn)了“正難則反”的解題策略，當(dāng)問(wèn)題從正面求解困難或麻煩時(shí)，可考慮先求解問(wèn)題的反面，巧妙地運(yùn)用“補(bǔ)集思想”，使問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)，化難為易.