Question

9．直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，若∠BAC=90°，2AB=2AC=AA₁，則異面直線BA₁與B₁C所成的角的余弦值等于$\frac{{\sqrt{30}}}{10}$．

Answer 1

分析 以A為原點，AB為x軸，AC為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線BA₁與B₁C所成的角的余弦值．

解答 解：以A為原點，AB為x軸，AC為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標系，
設(shè)2AB=2AC=AA₁=2，
則A₁（0，0，2），B（1，0，0），B₁（1，0，2），C（0，1，0），
$\overrightarrow{B{A}_{1}}$=（-1，0，2），$\overrightarrow{{B}_{1}C}$=（-1，1，-2），
設(shè)異面直線BA₁與B₁C所成的角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{B{A}_{1}}•\overrightarrow{{B}_{1}C}|}{|\overrightarrow{B{A}_{1}}|•|\overrightarrow{{B}_{1}C}|}$=$\frac{3}{\sqrt{5}•\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{30}}{10}$．
∴異面直線BA₁與B₁C所成的角的余弦值為$\frac{\sqrt{30}}{10}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{30}}{10}$．

點評 本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．