Question

設(shè)F₁、F₂分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)．
（1）求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率及準(zhǔn)線方程；
（2）若P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最大值和最小值；
（3）設(shè)過(guò)定點(diǎn)M（0，2）的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A、B，且∠AOB為銳角（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由e=可知，要求離心率，只要根據(jù)方程求出a，b，結(jié)合c²=a²-b²可求c，從而可求e，進(jìn)而可求橢圓的準(zhǔn)線方程x=
（2）解法一：設(shè)P（x，y），則==x²+y²-3=，由x∈[-2，2]，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求最值
解法二：（2）設(shè)P（x，y），則，===x²+y²-3（以下同解法一）．
（3）顯然直線x=0不滿足題設(shè)條件，可設(shè)直l：y=kx-2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4，聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)方程的根與系數(shù)關(guān)系可求x₁+x₂，x₁x₂，由△＞0可求k的范圍，由0°＜∠AOB＜90°可得=x₁x₂+y₁y₂＞0，代入可求k的范圍
解答：解：（1）易知a=2，b=1，c=
∴
∴離心率，橢圓的準(zhǔn)線方程為
（2）解法一：設(shè)P（x，y），則
==x²+y²-3
=
=
因?yàn)閤∈[-2，2]
故當(dāng)x=0，即點(diǎn)P為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，有最小值-2；
當(dāng)x=±2，即點(diǎn)P為橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)，，有最大值1．
解法二：
（2）易知a=2，b=1，c=
∴
設(shè)P（x，y），則，=
=
=
=x²+y²-3
（以下同解法一）．
（3）顯然直線x=0不滿足題設(shè)條件．
可設(shè)直l：y=kx-2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
聯(lián)立，消去y，整理得：
∴，
由=4k²-3＞0得：或①
又∵0°＜∠AOB＜90°
∴cos∠AOB＞0
∴=x₁x₂+y₁y₂＞0
又∵y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4
==
∵，即k²＜4，
∴-2＜k＜2②
故由①②得，或．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的性質(zhì)的應(yīng)用，直線與橢圓相交關(guān)系的應(yīng)用，方程的根與系數(shù)關(guān)系及向量的夾角與數(shù)量積的關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，屬于綜合性試題