Question

已知拋物線C的頂點為O(0,0),焦點為F(0,1).

(1)求拋物線C的方程;

(2)過點F作直線交拋物線C于A,B兩點,若直線AO,BO分別交直線l:y=x-2于M,N兩點,求|MN|的最小值.

 

Answer 1

【答案】

(1) x2=4y (2)

【解析】

解:(1)由題意可設(shè)拋物線C的方程為x2=2py(p>0),則

=1,所以拋物線C的方程為x2=4y.

(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB的方程為y=kx+1.

由消去y,整理得x2-4kx-4=0,

所以x1+x2=4k,x1x2=-4.從而|x1-x2|=4.

由

解得點M的橫坐標xM===.

同理,點N的橫坐標xN=.

所以|MN|=|xM-xN|=

=8

=.

令4k-3=t,t≠0,則k=.

當(dāng)t>0時,|MN|=2>2.

當(dāng)t<0時,|MN|=2≥.

綜上所述,當(dāng)t=-,即k=-時,|MN|的最小值是.