Question

已知a＞0,0≤x＜2π,函數(shù)y=cos²x-asinx+b的最大值為0,最小值為-4,試求a和b的值，并求出使y取得最大值和最小值的x的值.

Answer 1

解析：y=cos²x-asinx+b

=1-sin²x-asinx+b=-sin²x-asinx+1+b.

令sinx=t,由于x∈［0，2π）,

∴t∈［-1，1］，則y=-t²-at+1+b=-(t²+at+)+1+b+=-(t+a2)²+1+b+.

(1)當(dāng)-a2∈［-1，1］時，即0＜a≤2時，由圖1知y_max=1+b+,y_min=-1-a+1+b=b-a.由條件得:

解得a=2或a=-6(舍去),

b=a-4=2-4=-2.

此時y=-t²-2t-1=-(t+1)²,當(dāng)t=-1時,y取到最大值，且y_max=0.

此時x=,當(dāng)t=1時.y取到最小值，且y_min=-4,此時x=.

(2)當(dāng)＜-1即a＞2時，由圖2知y=-t²-at+1+b在［-1，1］上單調(diào)遞減,此時y_max=-1+a+1+b=a+b,y_min=-1-a+1+b=b-a.

由條件得:

解得：b=-2,a=2,由于a＞2,所以該情況舍去.

綜述：a=2,b=-2,y取到最大值時x的值為；y取到最小值時x的值為.

              

圖1                                          圖2