Question

在直角坐標平面中，△ABC的兩個頂點A，B的坐標分別為A(a,0),B(a,0)(a＞0),兩動點M,N滿足++=0,||=7||=7||，向量與共線.

（1）求△ABC的頂點C的軌跡；

（2）若過點P(0,a)的直線與點C的軌跡相交于E、F兩點，求·的取值范圍；

（3）若G(-a,0),H(2a,0),Q點為C點軌跡在第一象限內(nèi)的任意一點，則是否存在常數(shù)λ（λ＞0），使得∠QHG=λ∠QGH恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

解：（1）設C點的坐標為（x,y）,

∵++=0，

∴M點是△ABC的重心，故可得M為(,).

又||=||且向量與共線，

∴N在邊AB的中垂線上.∴N（0,）.

而||=||，∴=·,

即x²=a²，即C點的軌跡是以（-2a,0）,(2a,0)為焦點，實軸長為2a的雙曲線.

（2）設E（x₁,y₁）,F(x₂,y₂),過點P（0,a）的直線方程為y=kx+a,代入x²=a²得(3-k²)x²-2akx-4a²=0.①

∴Δ=4a²k²+16a²(3-k²)＞0,k²＜4.

∴k²-3＜1.

∴＞4或＜0.

而x₁,x₂是方程①的兩根，

∴x₁+x₂=,x₁x₂=.

∴·=(x₁,y₁-a)·(x₂,y₂-a)=x₁x₂+kx₁·kx₂

=(1+k₂)x₁x₂=

=4a²(1+)∈(-∞,4a²)∪(20a²,+∞).

故·的取值范圍為（-∞,4a²)∪(20a²,+∞).

（3）設Q（x₀,y₀）(x₀＞0,y₀＞0),則x₀²=a²，即y₀²=3(x₀²-a²).

當QH⊥x軸時，x₀=2a,y₀=3a,∴∠QGH=,即∠QHG=2∠QGH,故猜想存在λ=2,使∠QHG=λ∠QGH總成立.

當QH不垂直x軸時，tan∠QHG=,tan∠QGH=,

∴tan2∠QGH=

===-=tan∠QHG.

又∵2∠QGH與∠QHG同在（0，）∪(,π)內(nèi)，

∴2∠QGH=∠QHG.

故存在λ=2,使2∠QGH=∠QHG恒成立.