Question

9．若f（x）=log₂$\frac{2+mx}{2-nx}$為x∈（-1，1）的奇函數(shù)．
（1）求m，n的值；
（2）若x$∈[\frac{1}{3}，\frac{1}{2}]$，f（x）＞k恒成立，求k的范圍．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=log₂$\frac{2+mx}{2-nx}$為x∈（-1，1）的奇函數(shù)，可知mn＞0，且-1與1是方程（2+mx）（2-nx）=0的兩根，從而可求得m，n的值；
（2）依題意，f（x）＞k恒成立?f（x）_min＞k（$\frac{1}{3}$≤x≤$\frac{1}{2}$），分類討論，①當m=n=2時，f（x）=log₂$\frac{2+2x}{2-2x}$=log₂$\frac{1+x}{1-x}$在區(qū)間$[\frac{1}{3}，\frac{1}{2}]$上單調(diào)遞增，可求得f（x）_min=log₂2=1，可得k＜1；②當m=n=-2時，利用函數(shù)f（x）=log₂$\frac{2-2x}{2+2x}$=log₂$\frac{1-x}{1+x}$在區(qū)間$[\frac{1}{3}，\frac{1}{2}]$上單調(diào)遞減，可得f（x）_min=-log₂3，故k＜-log₂3；綜上可得k的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=log₂$\frac{2+mx}{2-nx}$為x∈（-1，1）的奇函數(shù)，
∴mn＞0，且-1與1是方程（2+mx）（2-nx）=0的兩根，
解得：m=n=2或m=n=-2；
（2）若x$∈[\frac{1}{3}，\frac{1}{2}]$，f（x）＞k恒成立?f（x）_min＞k（$\frac{1}{3}$≤x≤$\frac{1}{2}$），
①當m=n=2時，f（x）=log₂$\frac{2+2x}{2-2x}$=log₂$\frac{1+x}{1-x}$=log₂（$\frac{2}{1-x}$-1）在區(qū)間$[\frac{1}{3}，\frac{1}{2}]$上單調(diào)遞增，
故f（x）_min=log₂$\frac{1+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}}$=log₂2=1，
所以，k＜1；
②當m=n=-2時，f（x）=log₂$\frac{2-2x}{2+2x}$=log₂$\frac{1-x}{1+x}$在區(qū)間$[\frac{1}{3}，\frac{1}{2}]$上單調(diào)遞減，
故f（x）_min=log₂$\frac{1-\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}}$=log₂$\frac{1}{3}$=-log₂3，
所以，k＜-log₂3；
綜上所述，k＜-log₂3．

點評 本題考查函數(shù)恒成立問題，突出考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，考查等價轉(zhuǎn)化思想與函數(shù)與方程思想、分類討論思想的綜合運用，屬于難題．