Question

20．若函數(shù)f（x）=x³+ax²-x在x∈（1，2）上有極值，則實數(shù)a的取值范圍是（-$\frac{11}{4}$，-1）．

Answer 1

分析 由已知得f′（x）=0有實數(shù)根在（1，2），由此能求出實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=x³+ax²-x，
∴f′（x）=3x²+2ax-1，
∵函數(shù)f（x）=x³+ax²-x在x∈（1，2）上有極值，
∴f′（x）=3x²+2ax-1=0有兩個不相等的實數(shù)根，并且至少有一個根在（1，2）．
∴△=4a²+12＞0恒成立，x=$\frac{-2a±\sqrt{4{a}^{2}+12}}{6}$，可得f′（1）•f′（2）＜0，
即：（2+2a）（11+4a）＜0．
∴實數(shù)a的取值范圍是（-$\frac{11}{4}$，-1）．
故答案為：（-$\frac{11}{4}$，-1）．

點評 本題主要考查極值的概念、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識，解題時要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用．