Question

已知三點(diǎn)P（1，2），Q（2，1），R（3，2），過(guò)原點(diǎn)作一直線，使得點(diǎn)P，Q，R到此直線的距離的平方和最小，求此直線方程．

Answer 1

【答案】分析：①當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，由題意，可設(shè)所求直線方程為y=kx，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得點(diǎn)P，Q，R到直線的距離平方和t=，即（t-14）k²+20k+（t-9）=0，對(duì)t分類討論；即可得出t的最小值；
②當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線為y軸，3點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離的平方和為14，不是最小值．
解答：解：①當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，由題意，可設(shè)所求直線方程為y=kx，
設(shè)點(diǎn)P，Q，R到直線的距離平方和為t，則t==，即（t-14）k²+20k+（t-9）=0，
當(dāng)t=14時(shí)，；當(dāng)t≠14時(shí)，由△≥0，可得．
②當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線為y軸，3點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離的平方和為14，不是最小值．
綜上可知：t的最小值為，此時(shí)k=．
故直線的方程為．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握直線的方程、點(diǎn)到直線的距離公式、一元二次方程與判別式的關(guān)系、分類討論的思想方法等是解題的關(guān)鍵．