Question

10．如圖，已知平行四邊形ABCD與直角梯形ABEF所在的平面互相垂直，且AB=BE=$\frac{1}{2}$AF=1，BE∥AF，AB⊥AF，∠CBA=$\frac{π}{4}$，BC=$\sqrt{2}$，P為DF的中點．
（1）求證：PE∥平面ABCD；
（2）求三棱錐A-BCE的體積．

Answer 1

分析 （1）取AD的中點M，連接MP，MB，利用三角形的中位線定理、平行四邊形的判定定理可得：四邊形BEPM是平行四邊形，于是PE∥BM，再利用線面平行的判定定理可得：PE∥平面ABCD．
（2）在△ABC中，由余弦定理可得：AC²=AB²+BC²-2AB•BCcos∠ABC=1，因此AC²+AB²=BC²，AC⊥AB．利用面面垂直的性質定理可得：AC⊥平面ABEF，
再利用V_A-BCE=V_C-ABE=$\frac{1}{3}{S}_{△ABE}×AC$即可得出．

解答 （1）證明：取AD的中點M，連接MP，MB，
∵P為DF的中點，∴$MP\underset{∥}{=}\frac{1}{2}AF$，
又∵$BE\underset{∥}{=}\frac{1}{2}AF$，∴$BE\underset{∥}{=}MP$，
∴四邊形BEPM是平行四邊形，
∴PE∥BM，
又PE?平面ABCD，BM?平面ABCD．
∴PE∥平面ABCD．
（2）解：在△ABC中，由余弦定理可得：
AC²=AB²+BC²-2AB•BCcos∠ABC=$1+（\sqrt{2}）^{2}-2×1×\sqrt{2}×cos\frac{π}{4}$=1，
∴AC=1，
∴AC²+AB²=BC²，
∴AC⊥AB．
∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，
∴AC⊥平面ABEF，
∵${S}_{△ABE}=\frac{1}{2}BE•AB$=$\frac{1}{2}×1×1$=$\frac{1}{2}$．
∴V_A-BCE=V_C-ABE=$\frac{1}{3}{S}_{△ABE}×AC$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1$=$\frac{1}{6}$．

點評 本題考查了三角形的中位線定理、平行四邊形的判定定理與性質定理、線面平行的判定定理、余弦定理、面面垂直的性質定理、三棱錐的體積計算公式、勾股定理的逆定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．