Question

【題目】已知函數(shù)，．

（1）討論函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)在處取得極大值，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）先求出，再對(duì)a分類討論求出函數(shù)的單調(diào)性；（2）由題得，再對(duì)a分類討論，根據(jù)函數(shù)在x=1處取得極大值，求出a的取值范圍.

（1）∵，∴，∴，

①當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增；

②當(dāng)時(shí)，若，則；若，則，

∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

綜上所述，當(dāng)時(shí)．函數(shù)在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

（2）∵，∴．

①由（1）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，

若，則；若，則，

∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴在處取得極小值；不合題意；

②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上是單調(diào)遞減，∴，

∴在上單調(diào)遞減．∴無(wú)極值，不合題意；

③當(dāng)時(shí)，，由（1）知，在上單調(diào)遞增，∵，

∴若，則；若，則，

∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴在處取得極小值，不合題意；

④當(dāng)時(shí)，，由（1）知，在上單調(diào)遞減，∵，

∴若，則；若，則．

∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

∴在處取得極大值，符合題意．

綜上所述，a的取值范圍是．