Question

如圖，F(xiàn)是中心在原點、焦點在x軸上的橢圓C的右焦點，直線l：x＝4是橢圓C的右準線，F(xiàn)到直線l的距離等于3.

(1)求橢圓C的方程；

(2)點P是橢圓C上動點，PM⊥l，垂足為M.是否存在點P，使得△FPM為等腰三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

（1）＝1.（2）在點P

【解析】(1)設橢圓C的方程為＝1(a＞b＞0)，由已知，得∴∴b＝.所以橢圓C的方程為＝1.

(2)由＝e＝，得PF＝PM.∴PF≠PM.

①若PF＝FM，則PF＋FM＝PM，與“三角形兩邊之和大于第三邊”矛盾，∴PF不可能與PM相等．

②若FM＝PM，設P(x，y)(x≠±2)，則M(4，y)．∴＝4－x，∴9＋y2＝16－8x＋x2.又由＝1，得y2＝3－x2.∴9＋3－x2＝16－8x＋x2，

∴x2－8x＋4＝0.∴7x2－32x＋16＝0.∴x＝或x＝4.

∵x∈(－2，2)，∴x＝.∴P.綜上，存在點P，使得△PFM為等腰三角形．