Question

6．已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，平面α過(guò)直線BD，α⊥平面AB₁C，α∩平面AB₁C=m，平面β過(guò)直線A₁C₁，β∥平面AB₁C，β∩平面ADD₁A₁=n，則m，n所成角的余弦值為（　�。�

• A． 0
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 如圖所示，BD₁⊥平面AB₁C，平面α過(guò)直線BD，α⊥平面AB₁C，可得平面α即為平面DBB₁D₁．設(shè)AC∩BD=O．可得α∩平面AB₁C=m為OB₁．同理可得：平面A₁C₁D即為平面β．又A₁D∥B₁C，可得m，n所成角為∠OB₁C，根據(jù)△AB₁C為正三角形，即可得出．

解答 解：如圖所示，
∵BD₁⊥平面AB₁C，平面α過(guò)直線BD，α⊥平面AB₁C，
∴平面α即為平面DBB₁D₁．設(shè)AC∩BD=O．
∴α∩平面AB₁C=m為OB₁．
∵平面A₁C₁D過(guò)直線A₁C₁，與平面AB₁C平行，
而平面β過(guò)直線A₁C₁，β∥平面AB₁C，
∴平面A₁C₁D即為平面β．
β∩平面ADD₁A₁=A₁D=n，
又A₁D∥B₁C，
∴m，n所成角為∠OB₁C，
由△AB₁C為正三角形，則cos∠OB₁C=cos$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方體的性質(zhì)、空間位置關(guān)系、等邊三角形的性質(zhì)、空間角，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．