Question

已知函數(shù)f（x）=e^x﹣ax﹣1（a＞0，e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）若f（x）≥0對任意的x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)a的值；
（3）在（2）的條件下，證明：
．

Answer 1

（1）解：由題意a＞0，f ′（x）=e^x﹣a，
由f′（x）=e^x﹣a=0得x=lna．
當(dāng)x∈（﹣∞，lna）時，f′（x）＜0；
當(dāng)x∈（lna，+∞）時，f′（x）＞0．
∴f（x）在（﹣∞，lna）單調(diào)遞減，在（lna，+∞）單調(diào)遞增．
即f（x）在x=lna處取得極小值，且為最小值，
其最小值為f（lna）=elna﹣alna﹣1=a﹣alna﹣1．
（2）解：f（x）≥0對任意的x∈R恒成立，即在x∈R上，f（x）_min≥0．
由（1），設(shè)g（a）=a﹣alna﹣1，所以g（a）≥0．
由g′（a）=1﹣lna﹣1=﹣lna=0  得a=1．
∴g（a）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴g（a）在a=1處取得最大值，而g（1）=0．
因此g（a）≥0的解為a=1，
∴a=1．
（3）證明：由（2）知，對任意實(shí)數(shù)x均有e^x﹣x﹣1≥0，即1+x≤e^x．
令 （n∈N*，k=0，1，2，3，…，n﹣1），則 ．
∴．
∴
=．