Question

已知數(shù)列{a_n}與{b_n}，若a₁=3且對任意正整數(shù)n滿足a_n+1-a_n=2，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和Sn=n2+an．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{

1

bnbn+1

}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意知，{a_n}是以3為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列，從而可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=S_n-S_n-1=2n+1，對b₁=4不成立，于是可求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知當(dāng)n=1時(shí)，T₁=

1

b1b2

=

1

20

，當(dāng)n≥2時(shí)，利用裂項(xiàng)法可求得

1

bnbn+1

=

1

2

（

1

2n+1

-

1

2n+3

），從而可求T_n．

解答：解：（Ⅰ）∵對任意正整數(shù)n滿足a_n+1-a_n=2，
∴{a_n}是公差為2的等差數(shù)列，又a₁=3，
∴a_n=2n+1；
當(dāng)n=1時(shí)，b₁=S₁=4；      
當(dāng)n≥2時(shí)，
b_n=S_n-S_n-1=（n²+2n+1）-[（n-1）²+2（n-1）+1]=2n+1，
對b₁=4不成立．
∴數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式：b_n=

4，(n=1) 2n+1，(n≥2)

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知當(dāng)n=1時(shí)，T₁=

1

b1b2

=

1

20

，
 當(dāng)n≥2時(shí)，

1

bnbn+1

=

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

2

（

1

2n+1

-

1

2n+3

），
∴T_n=

1

20

+

1

2

[（

1

5

-

1

7

）+（

1

7

-

1

9

）+…+（

1

2n+1

-

1

2n+3

）]
=

1

20

+

1

2

（

1

5

-

1

2n+3

）
=

1

20

+

n-1

10n+15

，
當(dāng)n=1時(shí)仍成立．                      
∴T_n=

1

20

+

n-1

10n+15

對任意正整數(shù)n成立．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的求和，著重考查等差數(shù)列與遞推關(guān)系的應(yīng)用，突出考查裂項(xiàng)法求和，屬于中檔題．