Question

如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為菱形，∠ABC=60°，AB=2，△PCB為正三角形，且平面PCB⊥平面ABCD，M，N分別為BC，PD的中點．
（1）求證：MN∥面APB；
（2）求二面角B-NC-P的余弦值；
（3）求四棱錐P-ABCD被截面MNC分成的上下兩部分體積之比．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,組合幾何體的面積、體積問題,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）取AD中點O，連接MO，NO，由已知條件推導出四邊形ABCD為平行四邊形，由此能夠證明MN∥面PAB．
（2）建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角B-NC-P的余弦值．
（3）利用向量法求出點P到平面MNC的距離，由棱錐體積的計算公式能求出四棱錐P-ABCD被截面MNC分成的上下兩部分體積之比．

解答： （1）證明：取AD中點O，連接MO，NO，
∵M，N分別為DE，PB的中點，
∴ON∥PA，ON∥面PAB
又∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴OM∥AB，∵OM在平面PAB外，AB?平面PAB，
∴OM∥面PAB，
∵面MON∥面PAB，∴MN∥面PAB．（3分）
（2）建立空間直角坐標系如圖，
由題意知：P（0，0，

3

），A（

3

，0，0），B（0，-1，0），
C（0，1，0），D(

3

，2，0)，
∵N為PD中點，∴N(

3

2

，1，

3

2

)，（4分）
∴

PN

=（

3

2

，1，-

3

2

），

PC

=(0，1，-

3

)，

BN

=(

3

2

，2，

3

2

)，

BC

=（0，2，0），
令平面PNC的法向量

n

=(x， y， z)，
∵

n

•

PN

=0，

n

•

PC

=0，
∴

3 2 x+y- 3 2 z=0 y- 3 z=0

，∴

n

=(-1， 

3

， 1)．
設平面BNC的法向量

m

=(

x

1

，y1，z1)，
∵

m

•

BN

=0，

m

•

BC

=0，
∴

3 2 x1+2y1+ 3 2 z1=0 2y1=0

，∴

m

=(1，0，-1)，（6分）
∴cos＜

m

，

n

＞=

-1+0-1

5 • 2

=-

10

5

，
∵二面角B-NC-P的平面角為銳角，
∴二面角B-NC-P的余弦值為

10

5

．（8分）
（3）∵

MP

=（0，0，

3

），平面MNC的法向量為

m

=(1，0，-1)，
∴點P到平面MNC的距離d=|

MP • m

m

|=|

- 3

2

|=

6

2

，
設PA中點為E，則NE=1，BC=2，

BC

=(0，2，0)，

CN

=(

3

2

，0，

3

2

)，
∴

BC

•

CN

=0，|

CN

|=

6

2

，
∴直角梯形ENCB的面積為

1

2

(1+2)×

6

2

=

3 6

4

，
∴V上=

1

3

×

3 6

4

×

6

2

=

3

4

V下=

1

3

×2

3

×

3

-

3

4

=

5

4

，
∴

V上

V下

=

3

5

，
∴四棱錐P-ABCD被截面MNC分成的上下兩部分體積之比為

3

5

．（12分）

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查棱錐體積的計算，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．