Question

已知二次函數f（x）的二次項系數為a，且不等式f（x）＞2x的解集為（-1，3）．
（1）若函數g（x）=x，f（x）在區(qū)間（-∞，）內單調遞減，求a的取值范圍；
（2）當a=-1時，證明方程f（x）=2x³-1僅有一個實數根．
（3）當x∈[0，1]時，試討論|f（x）+（2a-1）x+3a+1|≤3成立的充要條件．

Answer 1

解：（1）∵f（x）-2x＞0的解集為（-1，3），
∴可設f（x）-2x=a（x+1）（x-3），且a＜0，
因而f（x）=a（x+1）（x-3）+2x=ax²+2（1-a）x-3a①
g（x）=xf（x）=ax³+2（1-a）x²-3ax，
∵g（x）在區(qū)間 內單調遞減，
∴g′（x）=3ax²+4（1-a）x-3a在 上的函數值非正，
由于a＜0，對稱軸 ，
故
注意到a＜0，∴a²+4（1-a）-9≥0，
得a≤-1或a≥5（舍去）
故所求a的取值范圍是（-∞，-1]．
（2）當a=-1時，方程f（x）=2x³-1僅有一個實數根，即證方程2x³+x²-4x-4有且僅有一個實數根．
令h（x）=2x³+x²-4x-4，
由h′（x）=6x²+2x-4=0，得x=-1，或x=
由此易得函數h（x）=2x³+x²-4x-4在區(qū)間（-∞，-1），（，+∞）上單調遞增，在區(qū)間（-1，）上遞減
h（x）的極大值h（-1）=-1＜0
故函數h（x）的圖象與x軸僅有一個交點，
∴當a=-1時，方程f（x）=2x³-1僅有一個實數根
（3）設r（x）=f（x）+（2a-1）x+3a+1=ax²+x+1，
r（0）=1，對稱軸為x=
由題意，得或
解得-5≤a＜0
故使|f（x）+（2a-1）x+3a+1|≤3成立的充要條件為-5≤a＜0
分析：（1）依據不等式f（x）＞2x的解集為（-1，3），可設函數f（x）-2x的解析式為（x）-2x=a（x+1）（x-3），得出f（x）的解析式．根據若函數g（x）區(qū)間 內單調遞減，通過導函數g′（x）＜0，求a的取值范圍．
（2）若方程f（x）=2x³-1僅有一個實數根，我們可以構造函數h（x）=2x³+x²-4x-4，則函數h（x）=2x³+x²-4x-4無極值點，或兩個極值點的函數值同號，求出函數的導函數，分析后，即可得到結論；
（3）構造函數r（x）=f（x）+（2a-1）x+3a+1，根據二次函數的圖象與性質，分析后構造關于a的不等式組，即可求出|f（x）+（2a-1）x+3a+1|≤3成立的充要條件．
點評：本題考查的知識點是根的存在性及根的個數判斷，函數單調性的性質，及二次函數的性質，待定系數法求函數的解析式．步驟一般是首先確定所求問題含待定系數的解析式．其次根據恒等條件，列出一組含待定系數的方程．最后解方程或消去待定系數，從而使問題得到解決．其中熟練掌握二次函數、二次不等式、二次方程之間的聯(lián)系，熟練的進行相互轉化是解答本題的關鍵．