Question

13．有一塊邊長為8m的正方形鋼板，將其四個角各截去一個邊長為xm的小正方形，然后焊接成一個無蓋的蓄水池．
（1）寫出以x為自變量的蓄水池容積V的函數(shù)解析式V（x），并求函數(shù)V（x）的定義域；
（2）蓄水池的底邊為多少時，蓄水池的容積最大，并求出最大容積．

Answer 1

分析 （1）設(shè)蓄水池的底面邊長為a，則a=6-2x，則蓄水池的容積為：V（x）=x（6-2x）²．由此能寫出以x為自變量的容積V的函數(shù)解析式V（x），并求出函數(shù)V（x）的定義域；
（2）由V（x）=x（6-2x）²=4x³-24x²+36x得V'（x）=12x²-48x+36．由此能求出函數(shù)V（x）的單調(diào)區(qū)間．由此能求出蓄水池的底邊為多少時，蓄水池的容積最大和最大容積是多少．

解答 解：（1）設(shè)蓄水池的底面邊長為a，
則a=8-2x，
則蓄水池的容積為：V（x）=x（8-2x）²．
由$\left\{\begin{array}{l}x＞0\\ 8-2x＞0\end{array}\right.$，
得函數(shù)V（x）的定義域為x∈（0，4）．（4分）
（2）由V（x）=x（8-2x）²=4x³-32x²+64x，
得V'（x）=12x²-64x+64．
令V'（x）=12x²-64x+64＞0，
解得x＜$\frac{4}{3}$或x＞4；
令V'（x）=12x²-64x+64＜0，解得$\frac{4}{3}$＜x＜4．
∵函數(shù)V（x）的定義域為x∈（0，4），
∴函數(shù)V（x）的單調(diào)增區(qū)間是：（0，$\frac{4}{3}$）；函數(shù)V（x）的單調(diào)減區(qū)間是：（$\frac{4}{3}$，4）．
并求得V（$\frac{4}{3}$）=$\frac{1024}{27}$．
由V（x）的單調(diào)性知，$\frac{1024}{27}$為V（x）的最大值．此時a=$\frac{16}{3}$m，
故蓄水池的底邊為$\frac{16}{3}$m時，蓄水池的容積最大，其最大容積是$\frac{1024}{27}$m³．（12分）

點評 本題考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，解題時要認真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地運用導數(shù)解題．易錯點是理不清數(shù)量間的相互關(guān)系，不能正確地建立方程．再求單調(diào)區(qū)間時要注意函數(shù)的定義域．