Question

設(shè)函數(shù).

（Ⅰ） 求函數(shù)的最小值；

（Ⅱ） 設(shè)，討論函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅲ）斜率為的直線與曲線交于、兩點(diǎn)，

求證：.

Answer 1

（Ⅰ） 解：，令，得.     

∵當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，     

∴當(dāng)時(shí)，.          

（Ⅱ），.      

   ① 當(dāng)時(shí)，恒有，在上是增函數(shù)；         

 

 ② 當(dāng)時(shí)，令，得,解得；      

令，得，解得.             

   綜上，當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)；

   當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.        

（Ⅲ） 證：.

   要證，即證，等價(jià)于證，令，

則只要證，由知，故等價(jià)于證 (*).

   ① 設(shè)，則，故在上是增函數(shù)，

      ∴ 當(dāng)時(shí)，，即.

   ② 設(shè)，則，故在上是增函數(shù)，

      ∴ 當(dāng)時(shí)，，即.

由①②知(*)成立，得證.