Question

13．某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）在某一個(gè)周期的圖象時(shí)，列表并填入的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：

x	$\frac{2π}{3}$	x1	$\frac{8π}{3}$	x2	x3
ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
Asin（ωx+φ）	0	2	0	-2	0

（Ⅰ）求x₁，x₂，x₃的值及函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）將函數(shù)f（x）的圖象向左平移π個(gè)單位，可得到函數(shù)g（x）的圖象，若直線y=k與函數(shù)y=f（x）g（x）的圖象在[0，π]上有交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$\frac{2π}{3}ω+$φ=0，$\frac{8π}{3}ω$+φ=0，可解得ω，φ的值，由$\frac{1}{2}{x}_{1}-\frac{π}{3}=\frac{π}{2}$，$\frac{1}{2}{x}_{2}-\frac{π}{3}=\frac{3π}{2}$，$\frac{1}{2}{x}_{3}-\frac{π}{3}=2π$，可求x₁，x₂，x₃的值，又由Asin（$\frac{1}{2}×\frac{5π}{3}-\frac{π}{3}$）=2，可求A的值，即可求得函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換可求g（x）=2cos（$\frac{x}{2}-\frac{π}{3}$），y=f（x）g（x）=2sin（x-$\frac{2π}{3}$），結(jié)合范圍x∈[0，π]時(shí)，可得x-$\frac{2π}{3}$∈[-$\frac{2π}{3}$，$\frac{π}{3}$]，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解．

解答 （本題滿分為10分）
解：（Ⅰ）由$\frac{2π}{3}ω+$φ=0，$\frac{8π}{3}ω$+φ=0，可得$ω=\frac{1}{2}$，φ=-$\frac{π}{3}$，
由$\frac{1}{2}{x}_{1}-\frac{π}{3}=\frac{π}{2}$，$\frac{1}{2}{x}_{2}-\frac{π}{3}=\frac{3π}{2}$，$\frac{1}{2}{x}_{3}-\frac{π}{3}=2π$，
可得：x₁=$\frac{5π}{3}$，${x}_{2}=\frac{11π}{3}$，${x}_{3}=\frac{14π}{3}$，
又因?yàn)锳sin（$\frac{1}{2}×\frac{5π}{3}-\frac{π}{3}$）=2，所以A=2．
所以f（x）=2sin（$\frac{1}{2}x-\frac{π}{3}$）…6分
（Ⅱ）由f（x）=2sin（$\frac{1}{2}x-\frac{π}{3}$）的圖象向左平移π個(gè)單位，
得g（x）=2sin（$\frac{1}{2}x-\frac{π}{3}+\frac{π}{2}$）=2cos（$\frac{x}{2}-\frac{π}{3}$）的圖象，
所以y=f（x）g（x）=2×2sin（$\frac{x}{2}-\frac{π}{3}$）•cos（$\frac{x}{2}-\frac{π}{3}$）=2sin（x-$\frac{2π}{3}$）．
因?yàn)閤∈[0，π]時(shí)，x-$\frac{2π}{3}$∈[-$\frac{2π}{3}$，$\frac{π}{3}$]，
所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為：[-2，$\sqrt{3}$]…10分

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基本知識(shí)的考查．