Question

【題目】已知函數,曲線在點處的切線為，若時，有極值.

（1）求的值；

（2）求在上的最大值和最小值.

Answer 1

【答案】解: （1）由f（x)=x3+ax2+bx+c,

得f′(x)=3x2+2ax+b,

當x=1時，切線l的斜率為3，可得2a+b="0 " ①

當x=時，y=f(x)有極值，則f′（）=0,

可得4a+3b+4="0 " ②

由①②解得a=2,b=-4.

由于切點的橫坐標為x=1,∴f(1)=4.

∴1+a+b+c=4.∴c=5………………………………….6分

（2）由（1）可得f(x)=x3+2x2-4x+5,

∴f′(x)=3x2+4x-4,

令f′(x)=0,得x=-2,x=.

當x變化時，y,y′的取值及變化如下表：

x	-3	(-3,-2)	-2	(-2,)		(,1)	1
		+	0	-	0	+
y	8	單調增遞	13	單調遞減		單調遞增	4

∴ y=f(x)在[-3，1]上的最大值為13，最小值為…………………….14分

【解析】試題分析：

(1)利用題意求得實數a,b,c的值可得函數f(x)的表達式為f(x)＝x3＋2x2－4x＋5

(2)結合(1)的解析式和導函數研究原函數的性質可得y＝f(x)在[－3,1]上的最大值為13，最小值為 .

試題解析：

(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，

得f′(x)＝3x2＋2ax＋b，

當x＝1時，切線l的斜率為3，可得2a＋b＝0；①

當x＝時，y＝f(x)有極值，則f′＝0，

可得4a＋3b＋4＝0.②

由①②解得a＝2，b＝－4，

又切點的橫坐標為x＝1，∴f(1)＝4.

∴1＋a＋b＋c＝4.∴c＝5.

(2)由(1)，得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，

∴f′(x)＝3x2＋4x－4.

令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝，

∴f′(x)<0的解集為，即為f(x)的減區(qū)間．

[－3，－2)、是函數的增區(qū)間．

又f(－3)＝8，f(－2)＝13，f＝，f(1)＝4，

∴y＝f(x)在[－3,1]上的最大值為13，最小值為.