Question

 

已知點(diǎn)，直線，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于它到直線的距離.

（Ⅰ）試判斷點(diǎn)的軌跡的形狀，并寫出其方程.

（Ⅱ）是否存在過的直線，使得直線被截得的弦恰好被點(diǎn)所平分？

 

Answer 1

【答案】

 本小題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想等．滿分13分．

解：（Ⅰ）因點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于它到直線的距離，所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)、直線為準(zhǔn)線的拋物線，   ………………2分

其方程為.              ………………5分

（Ⅱ）解法一：假設(shè)存在滿足題設(shè)的直線.設(shè)直線與軌跡交于，

依題意，得.  ………………6分

①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，不合題意.  ………………7分

②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，………8分

聯(lián)立方程組，

消去，得，（*）   ………………9分

∴，解得.    ………………10分

此時(shí)，方程（*）為，其判別式大于零，  ………………11分

∴存在滿足題設(shè)的直線　　　　　　　　　　     ………………12分

且直線的方程為：即.  　　 ………………13分

解法二：假設(shè)存在滿足題設(shè)的直線.設(shè)直線與軌跡交于，

依題意，得.  ………………6分

易判斷直線不可能垂直軸，  ………………7分

∴設(shè)直線的方程為，………8分

聯(lián)立方程組，

消去，得，  ………………9分

∵,

 ∴直線與軌跡必相交. ………………10分

又，∴.    ………………11分

∴存在滿足題設(shè)的直線　　　　　     ………………12分

且直線的方程為：即.   ………………13分

解法三：假設(shè)存在滿足題設(shè)的直線.設(shè)直線與軌跡交于，

依題意，得.  ………………6分

∵在軌跡上，

∴有，將，得. ………8分

當(dāng)時(shí)，弦的中點(diǎn)不是，不合題意，  ………9分

∴，即直線的斜率,  ………10分

注意到點(diǎn)在曲線的張口內(nèi)（或：經(jīng)檢驗(yàn)，直線與軌跡相交）…11分

∴存在滿足題設(shè)的直線　   ………………12分

且直線的方程為：即.   ………………13分