Question

如圖甲，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=，點M、N分別在AB，CD上，且MN⊥AB，MC⊥CB，BC=2，MB=4，現(xiàn)將梯形ABCD沿MN折起，使平面AMND與平面MNCB垂直（如圖乙），
（Ⅰ）求證：AB∥平面DNC；
（Ⅱ）當(dāng)DN的長為何值時，二面角D-BC-N的大小為30°？

Answer 1

解：（Ⅰ）MB∥NC，MB平面DNC，NC平面DNC， ∴MB∥平面DNC， 同理MA∥平面DNC， 又MA∩MB=M，且MA，MB平面MAB， ∴。
（Ⅱ）過N作NH⊥BC交BC延長線于H，連結(jié)HN， ∵平面AMND⊥平面MNCB，DN⊥MN， ∴DN⊥平面MBCN，從而DH⊥BC， ∴∠DHN為二面角D-BC-N的平面角， ∴∠DHN=30°， 由MB=4，BC=2，∠MCB=90°知∠MBC=60°， ， ∴NH=3·sin60°=， 由條件知：， ∴。