Question

2．已知{a_n}是正項(xiàng)數(shù)列，a₁=1，且點(diǎn)（$\sqrt{{a}_{n}}$，a_n+1）（n∈N^*）在函數(shù)y=x²+1的圖象上．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若列數(shù){b_n}滿足b₁=1，b_n+1=b_n+2${\;}^{{a}_{n}}$，求證：b_nb_n+2＜b${\;}_{n+1}^{2}$．

Answer 1

分析 （1）由題設(shè)條件知a_n+1=a_n+1，根據(jù)等差數(shù)列的定義即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．
（2）根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系，利用累加法求出數(shù)列{b_n}的表達(dá)式，即可比較大�。�

解答 解：（1）∵點(diǎn)（$\sqrt{{a}_{n}}$，a_n+1）（n∈N*）在函數(shù)y=x²+1的圖象上
∴a_n+1=a_n+1，
即a_n+1-a_n=1，
則{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，
則a_n=n．
（2）若列數(shù){b_n}滿足b₁=1，b_n+1=b_n+2${\;}^{{a}_{n}}$，
則b_n+1=b_n+2${\;}^{{a}_{n}}$=b_n+2ⁿ，
即b_n+1-b_n=2ⁿ，
則b₂-b₁=2¹，b₃-b₂=2²，b₄-b₃=2³，…b_n-b_n-1=2^n-1，
等式兩邊同時相加得b_n-b₁=2¹+2²+…+2^n-1，
即b_n=1+2¹+2²+…+2^n-1=$\frac{1•（1-{2}^{n}）}{1-2}$=2ⁿ-1，
則b_nb_n+2=（2ⁿ-1）（2ⁿ⁺²-1）=2²ⁿ⁺²-2ⁿ⁺²-2ⁿ+1=2²ⁿ⁺²-5•2ⁿ+1
b${\;}_{n+1}^{2}$=（2ⁿ⁺¹-1）²=2^（2n+2）-2•2ⁿ⁺¹+1=2^（2n+2）-4•2ⁿ+1，
∴b_nb_n+2＜b${\;}_{n+1}^{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查遞推數(shù)列的應(yīng)用，利用構(gòu)造法和累加法，結(jié)合等差數(shù)列的定義，是解決本題的關(guān)鍵．